Ізокванти та ізокліни ПФ
Якщо знову звернутися до методу аналогії, то, як і у випадку моделі поведінки споживача, теоретично моделювання виробничих процесівможна виділити поняття кривої байдужості виробника. Цьому поняттю може відповідати безліч наборів виробничих факторів, яким відповідає однакова кількість виробленого продукту, тобто:
Безліч точок, що задовольняють рівності (4.1), називають ізоквантою ПФ ( iso- Постійний, quantity- Кількість). Кожна ізокванта відповідає різному рівню виробництва продукту ( y ), причому ізокванти, більш віддалені від нульової точки (точки бездіяльності) відповідають вищим значенням y . Ізокванти також мають ті ж властивості, що і криві байдужості (паралельні один одному, не перетинаються з осями абсцис і ординат та ін.) Для двофакторної ПФ изокванта по суті виражатиме функціональну залежність витрат капіталу від витрат праці при даному рівні виробленого продукту:
Виробник, варіюючи технології, може вибирати різні поєднання факторів виробництва та підтримувати при цьому постійний рівень виробництва. Згідно із ізоквантом, збільшення одного фактора призведе до зменшення іншого. Отже, має бути характеристика, що дозволяє оцінити компенсацію одного чинника іншим. Такою характеристикою є гранична норма заміщення(Аналогічно такій же характеристиці в теорії корисності споживача):
, (4.2)
яка показує, яке збільшення фактора j компенсує зниження фактора i на одиницю, щоб рівень виробництва продукту залишився незмінним (заміщення фактора i фактором j ).
Відповідно зворотне заміщення (фактора j фактором i) характеризуватиметься зворотною величиною: 
.
Відповідно до взаємозв'язку коефіцієнта еластичності та граничного продукту (4.1) граничну норму заміщення можна виразити як:
(4.3)
Відповідно до (4.1) для двофакторної ПФ маємо:
- гранична норма заміщення капіталу працею;
- Гранична норма заміщення праці капіталом.
Відповідно до (4.3) для двофакторної моделі також граничну норму заміщення можна виразити через коефіцієнти еластичності:
, де до
- Фондоозброєність.
Поряд із ізоквантами важливу роль у ПФ відіграють ізокліни – безліч точок економічної галузі, у яких гранична норма заміщення i -го фактора j -м постійна:
Використовуючи поняття ізокліни (ізокліналі) можна перетворити довільний набір факторів (L,K) у набір (Y, MRS) , Тобто рішенням системи рівнянь:
буде:
Однорідна ПФ з постійною граничною нормою заміщення праці капіталом та ступенем однорідності δ=1
належить до класу лінійних функцій, тобто 
.
Таким чином, для двофакторної ПФ кожна точка ізокванти характеризується витратами капіталу та праці або граничною нормою заміщення праці капіталом. MRS LK та фондоозброєністю k . Якщо звернутися до геометричного уявлення, то MRS LK дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до цієї точки ізокванти, а величина k - кутовому коефіцієнту променя, що виходить з початку координат і проходить через задану точку ізокванти (див. Мал. 4.2).
Рис 4.2
Наприклад, у точці У
значення витрат праці більше, ніж у точці А
, отже, значення MRS LK
у точці У
менше, ніж у точці А
. Відповідно точка У
буде відповідати меншому значенню фондоозброєності, ніж у точці А
.
Таким чином, очевидним стає зв'язок між зміною фондоозброєності та граничною нормою заміщення праці капіталу, тобто ми знову приходимо до поняття еластичності, а саме еластичності заміщення праці капіталом, яка показує, наскільки відсотків зміниться фондозброєність праці за зміни граничної норми заміщення праці капіталом на один відсоток. :
(4.4)
Графічно можна також показати, що зі зростанням кривизни ізокванти еластичність E σ
зменшується (див. Мал. 4.3).
Рис 4.3
Зазначимо, що в обох випадках у точках А і У значення MRS LK залишаються однаковими, а значення фондоозброєності у точці А вище, ніж у точці У . Звідси випливає ще одна важлива властивість: для однорідної ПФ еластичність заміщення праці капіталом залежить лише від фондоозброєності і залишається постійною вздовж променів, що виходять із нульової точки.
Виразимо зв'язок між MRS LK і k при постійній еластичності E σ . Відповідно до (4.4) маємо:
(4.5)
Припускаючи залежність MRS LK (k) , можна записати (4.5) у вигляді звичайного диференціального рівняння:
(4.6)
Інтегрування (4.6) дає:
або після перетворення:
, де
Отже, умова сталості еластичності заміщення праці капіталом дає статечну залежність між величинами MRS LK і k . Відповідно, випадок одиничної еластичності відповідатиме лінійному зв'язку між зазначеними величинами:
Введення поняття постійної еластичності заміщення призвело до загальної форми однорідної ПФ, на яку еластичність заміщення чинників стала. Такі ПФ називають ПФ класу CES (Constant Elasticity of Substitution). Вперше функції цього класу було запропоновано Ерроу Кеннетом і Солоу Робертом 1961 року. Функції цього класу припускають, що заміщення праці капіталом можливе лише в деяких межах і не існує технологій, які дозволяли б зробити задану кількість продукту при витратах факторів виробництва нижче за певні критичні значення. (Геометрично це означає, що можна побудувати асимптоти до ізокванти, і вони будуть відповідати мінімально можливим значеннямипраці та капіталу. Можливий висновок математичних співвідношень асимптот, в даному викладі цей матеріал ми не наводитимемо.)
Багато ПФ є по суті окремими або граничними випадками функцій CES, основні характеристики яких наведені в Табл 4.1.
Табл 4.1
Концепція виробничої системита виробничого процесу. Технологічний процес та технологічна безліч
Основне завдання будь-якого виробничого процесу - створення доданої вартості та нового економічного продукту, який потім бере участь у подальших процесах обміну та споживання. Відомо, що виробничий процес є умовою виникнення процесів споживання з одного боку, з другого, припинення споживання призводить до припинення виробничого процесу. Отже, розвиток виробничих процесів визначається економічною поведінкою споживача. Цей взаємозв'язок можна представити у вигляді наступної концептуальної моделі щодо функціонування економічного об'єкта: 
Центральною ланкою є модель виробничого процесу, що пов'язує вхідні змінні виробничої системи з вихідними; модель ринку ресурсів є необхідною умовою функціонування виробничого процесу; модель ринку товарів – необхідна умоваіснування та поновлення виробничого процесу; модель прийняття рішень – вибір найкращого у певному сенсі рішення товаровиробника про обсяги випуску з урахуванням інформації про ринкову кон'юнктуру і виробничі можливості.
Сучасні уявлення у галузі моделювання виробничих процесів базуються на теоріях економістів -неокласиків , які запропонували модель людини «економічної», господарська поведінка якої визначається функцією корисності
Таким чином, виробничий процес - Це процес створення доданої вартості шляхом цілеспрямованого перетворення одного набору товарів в інший. Економічна система, в якій організований та протікає виробничий процес, називається виробничою системою чи виробництвом. Ціль будь-якої виробничої системи – бажаний конкретний кінцевий майбутній стан або результат господарської діяльності. З погляду неокласичного економічної теоріїЦілями виробника є максимізація доходу чи прибутку, чи мінімізація витрат. Товари в процесі виробництва називають виробничими факторами, отримані товари внаслідок виробничого процесу – продуктами виробництва.
З цієї точки зору будь-яка виробнича система зі складною внутрішньою структурою є «чорною скринькою», при цьому відомою є інформація про виробничі фактори (вхідна інформація) та продукт виробництва (результат), а невідома внутрішня структураописується з допомогою деякої виробничої функції. При цьому треба пам'ятати про те, що модель «чорної скриньки» корисна для економіста, але марна для менеджера, який реформує організаційну структурута процеси всередині системи.
Крім поняття виробничих функцій для моделювання виробничих процесів важливі такі поняття, як концепція еластичності факторів виробництва, граничної норми заміщення факторів виробництва, оскільки ресурси у виробничій системі можуть виступати в ролі товарів-субститутів. Крім того, у реальному виробничому процесі неможливо виробляти продукт за повної відсутності будь-якого фактора виробництва, тобто можна говорити про взаємодоповнюваність факторів виробництва, тобто про їх комплементарності.
Технологія- це технічний спосіб перетворення факторів виробництва на продукти. Існує безліч доступних технологій, з яких виробники вибирають найефективніші. Технологія задає відношення між елементом u з числа факторів виробництва та елементом v з галузі продуктів. Технологічний процес - це сукупність відносин між елементами u i і v j (), тому він є найпростішою моделлю виробничого процесу. У свою чергу, сукупність технологічних процесів утворює технологічна безліч . Технологічні множини мають такі властивості:
1. неможливість існування «роги достатку», тобто нульовий технологічний процес (без витрат факторів виробництва) належить технологічній множині і означає бездіяльність;
2. технологічне безліч опукло, тобто технологічні процеси можна комбінувати (деякий технологічний процес може бути опуклою комбінацією інших);
3. технологічна множина обмежена зверху, що пов'язане з обмеженістю (вичерпністю) ресурсів (факторів виробництва);
4. технологічна множина замкнута, тобто має межі.
Ефективнітехнологічні процеси описуються точками, що лежать на ефективній межі опуклого технологічної множини.
Метод технологічних множин дозволяє описати багатономенклатурне виробництво, оскільки можливий суворий перехід від технологічних множин до виробничих функцій шляхом агрегування факторів виробництва та продуктів.
На закінчення зазначимо, що є два альтернативні підходи до вирішення завдання оптимального управління виробничими процесами. Перший підхід розглядає завдання максимізації виробництва продукту при фіксованих бюджетних обмежень. Розв'язання цього завдання засноване на аналізі виробничої функції виробничої системи з урахуванням ринкової вартості праці та капіталу та розміру виробничого бюджету. Другий підхід вирішує завдання мінімізації виробничих витрат за заданого рівня виробництва товару. Це завдання вирішується з використанням функції витрат, яка може бути обчислена за наявною виробничою функцією. Ці два підходи призводять до однакового результату під час вирішення оптимізаційних завдань. ( Згадати подвійність!).
Міністерство освіти та науки Російської Федерації
Новгородський державний університет імені Ярослава Мудрого
Реферат з дисципліни:
Менеджмент
Виконала студентка гр.6061 зо
Макарова С.В.
Прийняв Сучков А.В.
Великий Новгород
1. ВИРОБНИЧИЙ ПРОЦЕС І ЙОГО ЕЛЕМЕНТИ.
Основу виробничо-господарську діяльність підприємства становить виробничий процес, що є сукупність взаємозалежних процесів праці та природних процесів, вкладених у виготовлення певних видів продукції.
Організація виробничого процесу полягає в об'єднанні людей, знарядь та предметів праці в єдиний процес виробництва матеріальних благ, а також у забезпеченні раціонального поєднання у просторі та в часі основних, допоміжних та обслуговуючих процесів.
Виробничі процеси на підприємствах деталізуються за змістом (процес, стадія, операція, елемент) та місцем здійснення (підприємство, переділ, цех, відділення, ділянка, агрегат).
Безліч виробничих процесів, що відбуваються на підприємстві, є сукупним виробничим процесом. Процес виробництва кожного окремого виду продукції підприємства називають приватним виробничим процесом. У свою чергу у приватному виробничому процесі можуть бути виділені часткові виробничі процеси як закінчені та технологічно відокремлені елементи приватного виробничого процесу, які не є первинними елементами виробничого процесу (він, як правило, здійснюється робітниками різних спеціальностей з використанням обладнання різного призначення).
Як первинний елемент виробничого процесу слід розглядати технологічну операцію- технологічно однорідну частину виробничого процесу, виконувану одному робочому місці. Відокремлені у технологічному відношенні часткові процеси є стадії виробничого процесу.
Часткові виробничі процеси можуть класифікуватися за кількома ознаками:
За цільовим призначенням;
характеру протікання у часі;
спосіб впливу на предмет праці;
Характеру застосовуваної праці.
За цільовим призначенням виділяють процеси основні, допоміжні та обслуговуючі.
Основнівиробничі процеси - процеси перетворення сировини та матеріалів на готову продукцію, що є основною, профільною
продукцією для цього підприємства. Ці процеси визначаються технологією виготовлення цього виду продукції (підготовка сировини, хімічний синтез, змішання сировини, фасування та упаковка продукції).
Допоміжнівиробничі процеси спрямовані виготовлення продукції чи виконання послуг задля забезпечення нормального перебігу основних виробничих процесів. Такі виробничі процеси мають власні предмети праці, відмінні від предметів праці основних виробничих процесів. Як правило, здійснюються вони паралельно з основними виробничими процесами (ремонтне, тарне, інструментальне господарство).
Обслуговуючівиробничі процеси забезпечують створення нормальних умов протікання основних та допоміжних виробничих процесів. Вони не мають власного предмета праці та протікають, як правило, послідовно з основними та допоміжними процесами, перемежовуються з ними (транспортування сировини та готової продукції, їх зберігання, контроль якості).
Основні виробничі процеси в основних цехах (ділянках) підприємства та утворюють його основне виробництво. Допоміжні та обслуговуючі виробничі процеси відповідно у допоміжних та обслуговуючих цехах - утворюють допоміжне господарство.
Різна роль виробничих процесів у сукупному виробничому процесі визначає розбіжності у механізмах управління різними видами виробничих підрозділів. У той же час класифікація часткових виробничих процесів за цільовим призначенням може проводитися лише стосовно конкретного приватного процесу.
Об'єднання основних, допоміжних, обслуговуючих та інших процесів у певній послідовності утворює структуру виробничого процесу.
Основний виробничий процес представляє процес виробництва основної продукції, що включає природні процеси, технологічний і робочий процеси, і навіть міжопераційне пролеживание.
Природний процес - процес, який призводить до зміни властивостей та складу предмета праці, але протікає без участі людини (наприклад, при виготовленні деяких видів хімічної продукції).
Природні виробничі процеси можна як необхідні технологічні перерви між опраціями (остигання, сушіння, визрівання тощо.)
Технологічнийпроцес є сукупність процесів, у яких відбуваються всі необхідні зміни у предметі праці, т. е. він перетворюється на готову продукцію.
Допоміжні операції сприяють виконанню основних операцій (транспортування, контроль, сортування продукції тощо).
Робочий процес - сукупність всіх трудових процесів (основних та допоміжних операцій).
Структура виробничого процесу змінюється під впливом технології обладнання, поділу праці, організації виробництва та ін.
Міжопераційне пролежування – перерви, передбачені технологічним процесом.
За характером перебігу у часі виділяють безперервніі періодичнівиробничі процеси. У безперервних процесах немає перерв у процесі виробництва. Виконання операцій із обслуговування виробництва відбувається одночасно чи паралельно з основними операціями. У періодичних процесах виконання основних та обслуговуючих операцій відбувається послідовно, внаслідок чого основний виробничий процес виявляється перерваним у часі.
За способом впливу на предмет праці виділяють механічні, фізичні, хімічні, біологічніта інші види виробничих процесів.
За характером застосовуваної праці виробничі процеси класифікуються на автоматизовані, механізовані та ручні.
Принципи організації виробничого процесу є вихідні положення, на основі яких здійснюються побудова, функціонування та розвиток виробничого процесу.
Існують такі принципи організації виробничого процесу:
диференціація - поділ виробничого процесу на окремі частини (процеси, операції, стадії) та їх закріплення за відповідними підрозділами підприємства;
комбінування - об'єднання всіх або частин різнохарактерних процесів з виготовлення певних видів продукції в межах однієї ділянки, цеху чи виробництва;
концентрація - зосередження певних виробничих операцій з виготовлення технологічно однорідної продукції або виконання функціонально-однорідних робіт на окремих робочих місцях, дільницях, цехах або виробництвах підприємства;
спеціалізація - закріплення за кожним робочим місцем та кожним підрозділом строго обмеженої номенклатури робіт, операцій, деталей та виробів;
універсалізація - виготовлення деталей та виробів широкого асортименту чи виконання різнорідних виробничих операцій на кожному робочому місці чи виробничому підрозділі;
пропорційність - поєднання окремих елементів виробничого процесу, що виявляється у їх певному кількісному відношенні один з одним;
паралельність - одночасна обробка різних деталей однієї партії з цієї операції на кількох робочих місцях тощо;
прямоточність - здійснення всіх стадій та операцій виробничого процесу в умовах найкоротшого шляху проходження предмета праці від початку до кінця;
ритмічність - повторення через встановлені періоди часу всіх окремих виробничих процесів та єдиного процесу виробництва певного виду продукції.
Наведені принципи організації виробництва практично діють не ізольовано друг від друга, вони тісно переплітаються у кожному виробничому процесі. Принципи організації виробництва розвиваються нерівномірно - у той чи інший період той чи інший принцип висувається на перший план або набуває другорядного значення.
Якщо просторове поєднання елементів виробничого процесу та всіх його різновидів реалізується на основі формування виробничої структури підприємства та підрозділів, що входять до нього, організація виробничих процесів у часі знаходить вираз у встановленні порядку виконання окремих логістичних операцій, раціональному суміщенні часу виконання різних видівробіт, визначення календарно-планових нормативів руху предметів праці.
Основою побудови ефективної системи виробничої логістики є виробничий розклад, сформований виходячи із завдання задоволення споживчого попиту та відповідального на запитання: хто, що, де, коли та в якій кількості випускатиме (виробляти). Виробничий розклад дозволяє встановити диференційовані по кожному структурному виробничому підрозділу об'ємні та часові характеристики матеріальних потоків.
Методи, що застосовуються для складання виробничого розкладу, залежать від типу виробництва, а також характеристик попиту та параметрів замовлень може бути поодиноким, дрібносерійним, серійним, великосерійним, масовим.
Характеристику типу виробництва доповнює характеристика виробничого циклу - це період часу між моментами початку та закінчення виробничого процесу стосовно конкретної продукції в рамках логістичної системи (підприємства).
Виробничий цикл складається з робочого часу та часу перерв під час виготовлення продукції.
У свою чергу, робочий період складається з основного технологічного часу, часу виконання транспортних у контрольних операцій та часу комплектації.
Час перерв поділяється на час міжопераційних, міждільничних та інших перерв.
Тривалість виробничого циклу багато в чому залежить від характеристики руху матеріального потоку, який буває послідовним, паралельним, паралельно-послідовним.
Крім того, на тривалість виробничого циклу впливають також форми технологічної спеціалізації виробничих підрозділів, система організації самих виробничих процесів, прогресивність застосовуваної технології та рівень уніфікації продукції, що випускається.
Виробничий цикл включає також час очікування - це інтервал з моменту надходження замовлення до моменту початку його виконання, для мінімізації якого важливо визначити оптимальну партію виробів - партія, при якій витрати в розрахунку на один виріб становлять мінімальну величину.
Для вирішення завдання вибору оптимальної партії прийнято вважати, що собівартість продукції складається з прямих витрат на виготовлення, витрат на зберігання запасів та витрат на переналагодження обладнання та його простої при зміні партії.
Насправді часто оптимальна партія визначається прямим рахунком, але за формуванні логістичних систем ефективнішим є застосування методів математичного програмування.
У всіх сферах діяльності, але особливо у виробничій логістиці, найважливіше значення має система норм та нормативів. До неї включаються як укрупнені, і детальні норми витрати матеріалів, енергії, використання устаткування тощо.
2. Методи вирішення транспортного завдання.
Транспортне завдання (класичне)- Завдання про оптимальний план перевезень однорідного продукту з однорідних пунктів наявності в однорідні пункти споживання на однорідних транспортних засобах (визначеній кількості) зі статичними даними та лінеарний підхід (це основні умови завдання).
Для класичної транспортної задачі виділяють два типи завдань: критерій вартості (досягнення мінімуму витрат на перевезення) або відстаней та критерій часу (витрачається мінімум часу на перевезення).
Історія пошуку методів вирішення
Проблема була вперше формалізована французьким математиком Гаспаром Монжемв 1781 року . Основне просування було зроблено на полях під час Великої Вітчизняної війнирадянським математиком та економістом Леонідом Канторовичем . Тому іноді ця проблема називається транспортним завданням Монжа - Канторовича.
Натиснувши на кнопку "Завантажити архів", ви завантажуєте потрібний вам файл безкоштовно.
Перед скачуванням даного файлу згадайте про ті хороші реферати, контрольні, курсові, дипломні роботи, статті та інші документи, які лежать незатребуваними у вашому комп'ютері. Це ваша праця, вона повинна брати участь у розвитку суспільства та приносити користь людям. Знайдіть ці роботи та відправте в базу знань.
Ми та всі студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будемо вам дуже вдячні.
Щоб завантажити архів з документом, введіть п'ятизначне число в поле, розташоване нижче, і натисніть кнопку "Завантажити архів"
Подібні документи
Сутність витрат виробництва, їхня класифікація. Основні напрями зниження витрат виробництва. Економічна сутністьта функції прибутку. Операційні та позареалізаційні витрати. Вивчення взаємозв'язку витрат виробництва та прибутку підприємства.
курсова робота , доданий 24.05.2014
Предмет та функції економтеорії. Товар та його властивості. Принципи граничної корисності. Теорія грошей К. Маркса. Поняття ліквідності, витрат та доходу фірми. Види та характерні рисиконкуренції. Модель сукупного попитута пропозиції. Податки, їхні функції.
шпаргалка, доданий 11.01.2011
Предмет економічної теорії, структура та функції. Економічні закони та їх класифікація. Трудова теоріявартості. Товар та його властивості. Подвійний характер праці, втіленого товару. Розмір вартості товару. Закон вартості та його функції.
шпаргалка, доданий 22.10.2009
Проблеми витрат виробництва як дослідження учених-економістів. Сутність витрат виробництва та його види. Роль прибутку за умов розвитку підприємництва. Сутність та функції прибутку, її види. Рентабельність підприємства та її показники.
курсова робота , доданий 28.11.2012
Сутність та значення економічного зростання. Типи та способи вимірювання економічного зростання. Основні характеристики функції Кобба-Дугласа. Показники та моделі економічного зростання. Чинники, які стримують економічне зростання. Похідна функція та її властивості.
курсова робота , доданий 26.06.2012
Сутність та основні функції прибутку. Економічна ефективністьмодернізації технологічного обладнання та використання інноваційних технологій при ремонті дорожнього покриття автомобільних доріг. Резерви підвищення прибутку на будівельній організації.
дипломна робота , доданий 04.07.2013
Сутність прибутку на економічній науці: поняття, види, форми, методи планування. Сутність методу прямого рахунку, суміщеного розрахунку. Основні шляхи збільшення прибутку на підприємствах Росії в сучасних умовах. Зв'язок між оплатою праці та прибутком.
курсова робота , доданий 18.12.2017
Методи опису технологій.
Виробництво - основна сфера діяльності фірми. Фірми використовують виробничі фактори,які називаються також введеними (вхідними) факторами виробництва.Наприклад, власник пекарні використовує такі фактори виробництва, як працю робітників, сировину у вигляді борошна і цукру, а також капітал, вкладений у печі, мішалки та інше обладнання для виробництва такої продукції, як хліб, пиріжки і кондитерські вироби.
Ми можемо підрозділити виробничі чинники великі категорії - працю, матеріали і капітал, кожна з яких включає вужчі угруповання. Наприклад, праця як виробничий факторчерез показник трудомісткості поєднує як кваліфіковану (теслярів, інженерів), так і некваліфіковану працю (сільськогосподарських робітників), а також підприємницькі зусилля керівників фірми. До матеріалів відносяться сталь, пластикові матеріали, електрика, вода та будь-який інший виріб, який купує фірма і перетворює на готовий товар. До капіталу належать будівлі, обладнання та товарно-матеріальні цінності.
Безліч всіх технологічно доступних для даної фірми векторів чистих випусків називають виробничою множиною і позначають через Y.
ВИРОБНИЧА МНОЖИНА- безліч допустимих технологічних способівданої економічної системи (X,Y ) , де X - Сукупність векторів витрат, а Y - Сукупність векторів випуску.
П. м. характеризується такими особливостями: воно замкнутоі опукло(Див. Безліч), вектори витрат обов'язково ненульові (не можна щось виробляти, нічого не витрачаючи), компоненти П. м. – витрати та випуски – не можна міняти місцями, бо виробництво – незворотний процес. Випуклість П. м. показує, зокрема, той факт, що віддача від ресурсів, що переробляються при збільшенні обсягу переробки скорочується.
Властивості виробничих множин
Розглянемо економіку з l благами. Для конкретної фірми природно розглядати частину цих товарів як чинники виробництва та частина - як продукцію. Слід зазначити, що такий поділ досить умовний, оскільки фірма має достатню свободу у виборі асортименту виробленої продукції та структури витрат. При описі технології розрізнятимемо випуск і витрати, представляючи останні як випуск зі знаком мінус. Для зручності представлення технології продукцію, яка і не витрачається і не випускається фірмою, відноситимемо до її випуску, причому обсяг виробництва цієї продукції вважаємо рівним 0. У принципі не виключена ситуація, в якій продукт, який виробляється фірмою, також споживається нею в процесі виробництва. І тут ми розглядатимемо лише чистий випуск цього продукту, т. е. його випуск мінус витрати.
Нехай число факторів виробництва дорівнює n, а кількість видів продукції дорівнює m, так що l = m + n. Позначимо вектор витрат через абсолютну величину через r 2 Rn+, а обсяги випусків через y 2 Rm+
Вектор (−r, yo) називатимемо вектором чистих випусків. Сукупність всіх технологічно допустимих векторів чистих випусків y = (−r, yo) становить технологічну множину Y . Таким чином, у цьому випадку будь-яка технологічна множина - це підмножина Rn − × Rm+
Такий опис виробництва має загальний характер. При цьому можна не дотримуватися жорсткого поділу благ на продукти і фактори виробництва: те саме благо може при одній технології витрачатися, а при іншій - виробляється.
Опишемо властивості технологічних множин, у термінах яких зазвичай дається опис конкретних класів технологій.
1. Непорожнеча. Технологічна множина Y не порожня. Ця властивість означає важливу можливість здійснення виробничої діяльності.
2. Замкнутість. Технологічна множина Y замкнута. Ця властивість скоріше технічна; воно означає, що технологічна множина містить свій кордон, і межа будь-якої послідовності технологічно допустимих векторів чистого випуску також є технологічно допустимим вектором чистих випусків.
3. Свобода витрачання. Це властивість можна інтерпретувати як наявність можливості виробляти той самий обсяг випуску, але з великих витрат, чи менший випуск за тих самих витратах.
4. Відсутність "роги достатку" ("no free lunch"). якщо y 2 Y і y > 0, то y = 0. Ця властивість означає, що для виробництва продукції в позитивній кількості потрібні витрати в ненульовому обсязі.
< _ < 1, тогда y0 2 Y. Иногда это свойство называют (не совсем точно) убывающей отдачей от масштаба. В случае двух благ, когда одно затрачивается, а другое производится, убывающая отдача означает, что (максимально возможная) средняя производительность затрачиваемого фактора не возрастает. Если за час вы можете решить в лучшем случае 5 однотипных задач по микроэкономике, то за два часа в условиях убывающей отдачи вы не смогли бы решить более 10 таких задач.
50 . Незменшуюча віддача від масштабу: якщо y 2 Y та y0 = _y, де _ > 1, тоді y0 2 Y.
У разі двох товарів, коли один витрачається, а інший виробляється, зростаюча віддача означає, що (максимально можлива) середня продуктивність фактора, що витрачається, не зменшується.
500 . Постійна віддача від масштабу - ситуація, коли технологічна множина задовольняє умовам 5 і 50 одночасно, тобто якщо y 2 Y і y0 = _y0, тоді y0 2 Y 8_ > 0.
Геометрично стала віддача від масштабу означає, що Y є конусом (можливо, що не містить 0). У разі двох товарів, коли один витрачається, а інший виробляється, постійна віддача означає, що середня продуктивність фактора, що витрачається, не змінюється при зміні обсягу виробництва.
5. Незростаюча віддача від масштабу: якщо y 2 Y та y0 = _y, де 0< _ < 1, тогда y0 2 Y. Иногда это свойство называют (не совсем точно) убывающей отдачей от масштаба. В случае двух благ, когда одно затрачивается, а другое производится, убывающая отдача означает, что (максимально возможная) средняя производительность затрачиваемого фактора не возрастает. Если за час вы можете решить в лучшем случае 5 однотипных задач по микроэкономике, то за два часа в условиях убывающей отдачи вы не смогли бы решить более 10 таких задач.
50 . Незменшуюча віддача від масштабу: якщо y 2 Y і y0 = _y, де _ > 1, тоді y0 2 Y. У разі двох товарів, коли один витрачається, а інший виробляється, зростаюча віддача означає, що (максимально можлива) середня продуктивність фактора, що витрачається не зменшується.
500 . Постійна віддача від масштабу - ситуація, коли технологічна множина задовольняє умовам 5 і 50 одночасно, тобто якщо y 2 Y і y0 = _y0, тоді y0 2 Y 8_ > 0.
Геометрично стала віддача від масштабу означає, що Y є конусом (можливо, що не містить 0).
У разі двох товарів, коли один витрачається, а інший виробляється, постійна віддача означає, що середня продуктивність фактора, що витрачається, не змінюється при зміні обсягу виробництва.
6. Випуклість: Властивість опуклості означає можливість «змішувати» технології у будь-якій пропорції.
7. Необоротність
Нехай із кілограма сталі можна зробити 5 підшипників. Необоротність означає, що неможливо зробити з 5 підшипників кілограм сталі.
8. Адитивність. якщо y 2 Y і y0 2 Y то y + y0 2 Y. Властивість адитивності означає можливість комбінувати технології.
9. Допустимість бездіяльності:
Теорема 44:
1) З незростаючої віддачі від масштабу та адитивності технологічної множини випливає його опуклість.
2) З опуклості технологічної множини та допустимості бездіяльності випливає незростаюча віддача від масштабу. (Зворотне не завжди вірне: при незростаючій віддачі технологія може бути невипуклою)
3) Технологічна множина має властивості адитивності та незростаючої віддачі від масштабу тоді і тільки тоді, коли воно - опуклий конус.
Не всі допустимі технології однаково важливі з економічної точки зору.
Серед допустимих особливо вирізняються ефективні технології. Допустиму технологію y прийнято називати ефективною, якщо не існує іншої (відмінної від неї) допустимої технології y0 такої, що y0 > y. Вочевидь, що таке визначення ефективності неявно передбачає, що це блага є у сенсі бажаними. Ефективні технології становлять ефективну межу технологічної множини. За певних умов виявляється можливим використовувати в аналізі ефективний кордон замість усієї технологічної множини. При цьому важливо, щоб для будь-якої допустимої технології y знайшлася ефективна технологія y0 така що y0 > y. Для того, щоб ця умова була виконана, потрібно, щоб технологічна множина була замкненою, і щоб у межах технологічної множини неможливо було збільшувати до нескінченності випуск одного блага, не зменшуючи при цьому випуск інших благ.
ТЕХНОЛОГІЧНИЙ СПОСІБ - загальне поняття, що об'єднує два: Т. с. виробництва (виробничий спосіб, технологія) та Т. с. споживання;сукупність основних характеристик ( інгредієнтів) процесу виробництва (відповідно - споживання) того чи іншого продукту. У економіко-математичної моделіТ. с., або технологія (activity), описується системою властивих чисел ( вектором): напр., нормами витраті випускурізних ресурсів в одиницю часу або в розрахунку на одиницю продукції тощо, у т. ч. коефіцієнтами матеріаломісткості, трудомісткості, фондомісткості, капіталомісткості.
наприклад, якщо x = (x 1 , ..., x m) - вектор витрат ресурсів (перерахованих під номерами i = 1, 2, ..., m), а y = (y 1 , ..., y n) - вектор обсягів виробництва продуктів j= 1, 2, ..., n, то технологіями, технологічними процесами, способами виробництва можна назвати пари векторів ( x,y ). Технологічна допустимістьозначає тут можливість отримати з інгредієнтів вектора, що витрачаються (використовуються). x вектор продукції y .
Сукупність різних допустимих технологій ( XY) утворює технологічне чи виробниче безлічданої економічної системи.
ВЕКТОР- впорядкований набір з деякої кількості дійсних чисел (таке одне з багатьох визначень - те, що прийняте в економіко-математичні методи). Напр., добовий план цеху може бути записаний 4-мірним вектором (5, 3, -8, 4), де 5 означає 5 тис. деталей одного виду, 3 - 3 тис. деталей другого виду, (-8) - витрата металу т, а остання компонента, припустимо, економію 4 тис. кВт. год електроенергії. Як видно, кількість компонентів ( координат) Ст довільно (в даному випадку план цеху може складатися не з чотирьох, а з будь-якого іншого числа показників); їх неприпустимо міняти місцями; вони можуть бути як позитивними, і негативними.
Вектори можна множити на дійсне число (напр., якщо збільшити план у 1,2 рази за всіма показниками, то вийде новий Ст з тим самим числом компонент). Вектори, що містять однакову кількість відповідно однойменних адитивних компонентів, можна складати і віднімати.
Буквене позначення Ст прийнято виділяти жирним шрифтом (хоча не завжди це дотримується).
Сумою векторів x = (x 1 ,..., x n) та y = (y 1 , ..., y n) є також Ст. x + y ) = (x 1 + y 1 , ..., x n +y n).
Скалярним твором векторів x і y називається число, що дорівнює сумі творів відповідних компонент цих Ст:
Вектори x і y називаються ортогональними, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю.
Рівність Ст - компонентне,тобто два Ст рівні, якщо рівні їх відповідні компоненти.
Вектор 0 - (0, ..., 0) нульовий;
n-мірний Ст - позитивний ( x > 0), якщо всі його компоненти x iбільше нуля, невід'ємний (x ≥ 0), якщо всі його компоненти x iбільше 0 або дорівнюють нулю, тобто. x i≤ 0; і напівпозитивнийякщо при цьому хоча б одна компонента x i≥ 0 (позначення x ≥ 0); якщо Ст мають рівну кількість компонентів, можливе їх упорядкування (повне або часткове), тобто введення на безлічі векторів бінарного відношення “> ”: x > y , x ≥y , x ≥ y залежно від того, позитивна, напівпозитивна чи невід'ємна різниця x – y.
ЗАКОН СКАЧУВАЛЬНОЇ ВІДДАЧІ-ствердження про те, що якщо розширюється використання будь-якого одного фактора виробництваі зберігаються у своїй витрати всіх інших чинників (вони називаються фіксованими), то фізичний обсяг граничного продукту, Виробляється за допомогою зазначеного фактора, стане (принаймні, з певного етапу) убувати.
ВИРОБНИЧИЙ ПРОМІНЬ- геометричне місце точок, що відображають пропорційне збільшення кількості ресурсівпри використанні певного технологічного способузі зростаючою інтенсивністю.
наприклад, якщо поєднання 3 од. капіталу (фондів) та 2 од. праці (тобто комбінація 3 K + 2L) дає 10 од. деякого продукту, то поєднання 6 K + 4L, 9K + 6L, що дають відповідно 20 та 30 од. і т. д., лежатимуть на графіку на прямій, званій П. л. або технологічним променем.При іншому поєднанні факторів П. л. матиме інший нахил. Через неподільність багатьох факторів виробництвакількість технологічних способів та відповідно П. л. приймається кінцевим.
Напр., якщо у вугільній лаві працює бригада з трьох шахтарів і до них додати ще одного, вироблення зросте на чверть, а якщо додати п'ятого, шостого, сьомого, приріст вироблення зменшуватиметься, а потім і припиниться зовсім: шахтарі в тісноті просто заважатимуть один одному.
Ключове поняття тут - гранична продуктивність праці (ширше - гранична продуктивність фактора виробництва δ Y/δ x). Наприклад, якщо розглядаються два фактори, то при зростанні витрат одного з них (першого чи другого) його гранична продуктивність падає.
Закон застосуємо на короткостроковому відрізку часу й у цій технології (її перегляд змінює ситуацію).
Характеризується змінними, які беруть активну участь у зміні виробничої функції (капіталу, землі, праці, часу). Нейтральний технічний прогрес визначається такими технічними змінами (автономного або матеріального виду), які не порушують рівноваги, тобто економічно та соціально безпечні для суспільства. Подаємо все це у вигляді схеми (див. схему 4.1.).
Розглянуто основні типові моделі оптимізації виробничої діяльності фірми з лінійною технологічною множиною, статистичні та динамічні моделі планування виробничих інвестицій, питання економіко-математичного аналізу господарських рішень на основі використання апарату двоїстих оцінок. Викладено основні підходи до проблематики оцінки якості виробничих інвестицій, а також методи та показники оцінки їх ефективності.
Розглянемо дуже важливий для модельних додатків випадок, коли технологічна множина виробничої системи є лінійним опуклим множиною, тобто модель виробництва виявляється лінійною.
Зауваження. Спільно припущення 2.1 та 2.2 означають, що технологічна множина є опуклим конусом . Припущення 2.3, що виділяє лінійні технології, означає, що цей конус є опуклим багатогранником у напівпросторі
Чи можна стверджувати, що в економічній галузі фірми з лінійною технологічною безліччю виробнича функція є монотонною.
Співвідношення (3.26) дає можливість вказати конкретний вид виробничої функції для моделі виробничої системи з лінійною технологічною множиною (розглянута вище модель (1.1)-(1.6))
Загальна технологічна множина виробничого елемента може бути отримана як результат об'єднання всіх допустимих з точки зору умов (2.1.2) та (2.1.3) векторів витрати - випуск
Опис технологічної множини однопродуктового елемента, наведене в попередньому параграфі, є найпростішим. Облік додаткових якостей технології елемента призводить до необхідності доповнити його рядом характеристик. Деякі з них ми розглянемо у цьому параграфі. Звичайно, наведені розгляди не вичерпують усіх можливостей, що є в цьому напрямку.
Сепарабельна випукла модель виробництва. Врахування фактора нелінійності в описаній у попередньому прикладі моделі обмежень виробництва призводить до нелінійної сепарабельної моделі багатопродуктового елемента. Облік нелінійності здійснюється шляхом запровадження нелінійних сепарабельних виробничих функцій. Технологічна множина багатопродуктового елемента з такими виробничими функціями має вигляд
У розглянутих технологічних моделях виробничих елементів опис технологічної множини дається шляхом завдання безлічі допустимих витрат і безлічі допустимих випусків для кожного рівня витрат. Такі описи зручні у завданнях типу оптимального розподілу ресурсів , у яких за заданих рівнях споживання ресурсів доводиться визначити допустимі і найефективніші (у сенсі тієї чи іншої критерію) рівні випуску. Разом з тим на практиці (особливо в запланованій економіці) зустрічається також свого роду обернена задача, коли рівень випуску продукції елементами заданий планом і необхідно визначити допустимі та мінімальні рівні витрат елементів. Завдання такі можуть бути умовно названі завданнями оптимального виконання планової програми випуску. У таких завданнях зручно застосувати зворотну послідовність опису технологічної множини виробничого елемента спочатку задавати безліч U допустимих випусків і g = U, а потім для кожного допустимого рівня випусків - безліч V (і) допустимих витрат v Е = V (і).
Загальна технологічна множина Y виробничого елемента при цьому має вигляд
На рис. 3.4 цьому обмеженню задовольняють усі точки технологічної множини, розташовані вище відрізка ЄС або лежачі на ньому.
Переважно оригінальним є і матеріал 4.21. Оцінка ефективності ринкових механізмів, які забезпечують існування єдиного рівноважного управління, проводилася на роботах. Матеріал 4.21 є розширенням цих робіт. Розгляд схеми аукціону у ринковій системі проводиться згідно з . Відомою моделлю, Розглянутою як приклад у цьому параграфі, є модель ринкової економіки. Детальний її розгляд можна знайти, наприклад, у роботах. У 4.21 ми припускали, що ринкова рівновага існує. Як показує розгляд схеми аукціону в ринковій системі, це положення може не завжди мати місце. Розгляд питань, пов'язаних із існуванням рівноваги в ринкових моделях, - одне з центральних питань математичної економіки. Стосовно моделей конкурентної економіки існування рівноваги встановлено рядом авторів при різних припущеннях. Зазвичай доказ передбачає опуклість функцій корисності (або переваг) споживачів та технологічних множин виробників. Наводиться узагальнення моделі Ерроу - Дебре на випадок континууму гравців. При цьому вдалося відмовитися від припущень про опуклість функцій уподобань споживачів.
Кожен виробник (фірма) j характеризується технологічним безліччю Y. - сукупністю технологічно допустимих л-мірних векторів витрат - випуску їх позитивним компонентам відповідають кількості, що випускаються, а негативним - витрачаються. Передбачається, що виробник вибирає вектор витрат - випуску те щоб отримати максимальну прибуток. При цьому він, як і споживач, не намагається впливати на ціни, беручи їх заданими. Таким чином, його вибір є вирішенням наступного завдання
З (16) також випливає слабка аксіома виявленої переваги. Нерівність (16) свідомо виконується, якщо попит кожного із споживачів суворо монотонний при цьому на технологічні множини не накладається особливих вимог. Інтерпретація умови монотонності та ряд пов'язаних з ним результатів наведені у . Для гладких функцій надмірного попиту єдиність рівноваги забезпечується також умовою домінуючої діагоналі. Ця умова означає, що модуль похідної попиту на кожен продукт за ціною цього продукту більше суми модулів всіх похідних попиту на той же
Модель виробника При виборі обсягів виробництва yj = у кожна фірма j e J обмежена своїм технологічним безліччю YJ з 1R1. Ці безлічі допустимих технологій можна задавати, зокрема, у вигляді (неявних) виробничих функцій fj(yj) YJ = УЗ е Rl /,(%) > 0 . Інше зручне уявлення (коли виробляється лише один товар h) - як явної виробничої функції у 0.
Технологічна множина та її властивості
ТЕХНОЛОГІЧНЕ МНОЖИНСТВО - див. Виробниче безліч, Технологічний спосіб.
Опис одного конкретного виду технологічної множини розглянемо для виробничого елемента, що споживає кілька видів витрат і випускає продукцію лише одного виду (однопродуктовий виробничий елемент). Вектор стану такого елемента має вигляд yt-(vtl, viz,. . . , v. x, ut). Відомий спосіб опису технологічної множини однопродуктового елемента ґрунтується на понятті виробничої функції і полягає в наступному.
Зазвичай передбачається, що технологічна множина елемента є опуклим, замкнутим і містить нульовий елемент підмножиною евклідового простору Ет розмірності т О Е Y d Em.
Розглянуті в попередньому параграфі методи представлення технологічних множин виробничих елементів характеризують їх властивості, але не задають опис у явному вигляді. Для однородуктових виробничих елементів явний опис технологічної множини можна задати, використовуючи поняття виробничої функції. У 1.2 ми вже стосувалися цього поняття та його використання, у цьому параграфі розгляд цих питань буде продовжено.
Використання однопродуктових виробничих функцій для опису технологічної множини багатопродуктового елемента. Якщо багатопродуктовий елемент виробляє тових видів продукції, споживаючи при цьому / гевх видів витрат, то його вектори витрат і випуску мають вигляд v = (i> i, vz, ..., Ут х) і = (м1г w2,.. . , итвих) відповідно.
Йому відповідає частина технологічної множини, обмежена кривостороннім трикутником AB (позначена штрихуванням на рис. 3.4).
Модель децентралізованої економіки Ерроу – Деб-ре – Мак-Кснзі. Загальна модель децентралізованої економіки описує виробництво, споживання та децентралізований